Яҫылыҡ

яҫылыҡ
Изучается в	стереометрия[d]
Определяющая формула	$\mathbf{𝐧}\cdot (\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}_0)=0$
Логотип РУВИКИ.Медиа РУВИКИ.Медиа файлдары

Ике киҫешеүсе яҫылыҡ

Яҫылыҡ — геометрияның төп төшөнсәләренең береһе. Геометрияның логик төҙөлөшөндә яҫылыҡ төшөнсәһе тәүге төшөнсәләрҙең береһе итеп ҡабул ителә, ул геометрияның аксиомалары аша ситләтеп кенә билдәләнә.

Яҫылыҡ — тура һыҙыҡтан ғибәрәт булған төҙөүсене йүнәлтеүсе тура һыҙыҡ буйлап кинематик хәрәкәт иттергәндә барлыҡҡа килгән йөҙ йәки фигура (һыҙма геометрия).

Яҫылыҡтың ҡайһы бер характерлы үҙсәнлектәре

• Яҫылыҡ — уның теләһә ниндәй нөктәләрен тоташтырыусы һәр тура һыҙыҡ тулыһынса унда ятҡан йөҙ;
• Ике Яҫылыҡ йә параллель, йәки тура һыҙыҡ буйлап киҫешә.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
• Бер үк яҫылыҡҡа перпендикуляр булған ике тура һыҙыҡ бер-береһенә параллель.
• Бер үк тура һыҙыҡҡа перпендикуляр булған ике яҫылыҡ бер-береһенә параллель.

Яҫылыҡ һәм уның ике нормаль векторы: n₁ и n₂

Яҫылыҡ тигеҙләмәһе

Беренсе булып А. К. Клеро хеҙмәттәрендә осрай (1731).

Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе, күренеүенсә, беренсе булып Г. Ламе хеҙмәттәрендә осрай (1816—1818).

Нормаль тигеҙләмәне Л. О. Гессе индергән (1861).

Яҫылыҡ — беренсе тәртиптәге алгебраик йөҙ: координаталарҙың декарт системаһында яҫылыҡ беренсе дәрәжә тигеҙләмә менән бирелә.

• Яҫылыҡтың дөйөм (тулы) тигеҙләмәһе

$Ax+By+Cz+D=0(1)$

бында $A,B,C$ һәм $D$ — һандар, шуның менән бергә $A,B$ һәм $C$ бер үк ваҡытта нулгә тигеҙ түгел; Векторлы формала:

$(\mathbf{𝐫},\mathbf{𝐍})+D=0$

бында $\mathbf{𝐫}$ — $M(x,y,z)$ нөктәһенең радиус-векторы, $\mathbf{𝐍}=(A,B,C)$ векторы яҫылыҡҡа перпендикуляр (нормаль вектор). $\mathbf{𝐍}$ векторының йүнәлтеүсе косинустары:

$\cos \alpha =\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \beta =\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \gamma =\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Әгәр яҫылыҡ тигеҙләмәһендә коэффициенттарҙың береһе нулгә тигеҙ булһа, тигеҙләмә тулы булмаған тигеҙләмә тип атала. $D=0$ булғанда яҫылыҡ координаталар башы аша үтә, $A=0$ (йәки $B=0$, $C=0$) булһа яҫылыҡ $Ox$ (ярашлы рәүештә $Oy$ йәки $Oz$) күсәренә параллель була. Әгәр $A=B=0$ ($A=C=0$, йәки $B=C=0$) булһа, яҫылыҡ $Oxy$ (ярашлы рәүештә $Oxz$ йәки $Oyz$) яҫылығына параллель була.

• Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$

бында $a=-D/A$, $b=-D/B$, $c=-D/C$ — яҫылыҡ тарафынан $Ox,Oy$ һәм $Oz$ күсәрҙәренән киҫеп алынған киҫектәр.

• $\mathbf{𝐍}(A,B,C)$ нормаль векторға перпендикуляр булған, $M(x_0,y_0,z_0)$ нөктәһе аша үткән яҫылыҡтың тигеҙләмәһе:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;$

векторлы формала:

$((\mathbf{𝐫}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟎}}),\mathbf{𝐍})=0.$

• Бер тура һыҙыҡта ятмаған бирелгән өс $M(x_i,y_i,z_i)$ нөктә аша үткән яҫылыҡ тигеҙләмәһе:

$((\mathbf{𝐫}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}),({\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟐}}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}),({\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟑}}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{𝟏}}))=0$

(векторҙарҙың ҡатнаш ҡабатландығы), башҡаса

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\\ \end{array}\right|=0.$

• Яҫылыҡтың нормаль (нормалаштырылған) тигеҙләмәһе

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0(2)$

векторлы формала:

$(\mathbf{𝐫},{\mathbf{𝐍}}^{\mathbf{𝟎}})\mathbf{-}\mathbf{𝐩}=0,$

бында ${\mathbf{𝐍}}^{\mathbf{𝟎}}$- берәмек вектор, $p$ — яҫылыҡтың координаталар башынан алыҫлығы. (2) тигеҙләмә (1) тигеҙләмәнән нормалаштырыусы ҡабатлашыусыға ҡабатлап килеп сыға

$\mu =\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

($\mu$ һәм $D$ тамғалары ҡапма-ҡаршы).

Нөктә һәм нормаль вектор буйынса билдәләмә

Өс үлсәмле арауыҡта яҫылыҡты билдәләүҙең мөһим ысулдарының береһе булып яҫылыҡта ятҡан нөктәне һәм уға нормаль векторҙы күрһәтеү тора.

$r_0$ — яҫылыҡта бирелгән $P_0$ нөктәһенең радиус-векторы булһын, ти, һәм n — яҫылыҡҡа перпендикуляр булған (нормаль) нулдән айырмалы вектор булһын. Идея шунан тора, r радиус-векторлы $P$ нөктәһе яҫылыҡта ята шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр $P_0$ нөктәһенән $P$ нөктәһенә үткәрелгән вектор n векторына перпендикуляр булһа.

Ике вектор бер-береһенә перпендикуляр шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың скаляр ҡабатландығы нулгә тигеҙ булһа. Ошонан сығып, беҙгә кәрәкле яҫылыҡ шундай r нөктәләре күмәклеге булып тора, бында:

$\mathbf{𝐧}\cdot (\mathbf{𝐫}-{\mathbf{𝐫}}_0)=0.$ (Бында нөктә скаляр ҡабатландыҡты аңлата, ә ҡабатлауҙы түгел.)

Аңлатманы үҙгәртеп табабыҙ:

$n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0,$

был беҙгә таныш яҫылыҡ тигеҙләмәһе булып тора.

Мәҫәлән: Бирелә: яҫылыҡта ятҡан $P(2,6,-3)$ нөктәһе һәм нормаль вектор $N(9,5,2)$.

Яҫылыҡтың тигеҙләмәһе ошолай яҙыла:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ

Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ — был нөктә менән яҫылыҡтың нөктәләре араһындағы иң ҡыҫҡа алыҫлыҡ ул. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ был нөктәнән яҫылыҡҡа төшөрөлгән перпендикуляр оҙонлоғона тигеҙ булыуы билдәле.

• $(2)$ нормалаштырылған тигеҙләмә:

$\delta =x_1\cos \alpha +y_1\cos \beta +z_1\cos \gamma -p;$

менән бирелгән яҫылыҡтан

$M_1(x_1,y_1,z_1)$

нөктәһенең тайпылышы

$\delta >0$,әгәр $M_1$ һәм координаталар башы яҫылыҡтың төрлө яғында ятһа, ҡапма-ҡаршы осраҡта $\delta <0$. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ $|\delta |$ тигеҙ.

• $M_0(x_0,y_0,z_0)$ нөктәһенән $ax+by+cz+d=0$ тигеҙләмәһе менән бирелгән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ $\rho$ түбәндәге формула буйынса иҫәпләнә:

$\rho =\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\mid }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Параллель яҫылыҡтар араһында алыҫлыҡ

• $Ax+By+Cz+D_1=0$ һәм $Ax+By+Cz+D_2=0$ тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:

$d=\frac{\mid D_2-D_1\mid }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

• $\overline{n}(\overline{r}-\overline{r_1})=0$ һәм $\overline{n}(\overline{r}-\overline{r_2})=0$ тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:

$d=\frac{\mid [{\overline{r}}_2-{\overline{r}}_1,\overline{n}]\mid }{\mid \overline{n}\mid }$

Өс һәм әҙерәк яҫылыҡтарҙың үҙ-ара торошо осраҡтары. Айырып әйткәндә, 4 тип — ике яҫылыҡ киҫешә, 11 тип — E₃ яҫылығы E₁ һәм E₂ яҫылыҡтарының киҫешеү һыҙығы аша үтә, 12 тип — өс яҫылыҡ бер нөктәлә киҫешә

Бәйле төшөнсәләр

• Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш. Әгәр яҫылыҡтарҙың тигеҙләмәһе (1) күренештә бирелһә, ул саҡта

$\cos \phi =\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2)(A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};$

Әгәр векторлы формала бирелһә, ул саҡта

$\cos \phi =\frac{({\mathbf{N}}_{\mathbf{𝟏}},{\mathbf{N}}_{\mathbf{𝟐}})}{|{\mathbf{N}}_{\mathbf{𝟏}}||{\mathbf{N}}_{\mathbf{𝟐}}|}.$

• Яҫылыҡтар параллель, әгәр

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ йәки $[{\mathbf{N}}_{\mathbf{𝟏}},{\mathbf{N}}_{\mathbf{𝟐}}]=0$ булһа. (Векторлы ҡабатландыҡ)

• Яҫылыҡтар перпендикуляр, әгәр

$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$ йәки $({\mathbf{N}}_{\mathbf{𝟏}},{\mathbf{N}}_{\mathbf{𝟐}})=0$ булһа. (Скаляр ҡабатландыҡ)

• Яҫылыҡтар шәлкеме — ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән бөтә яҫылыҡтар. Яҫылыҡтар шәлкеме тигеҙләмәһе, йәғни ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә^:222:

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0,$

бында $\alpha$ һәм $\beta$ — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Ә һыҙыҡтың үҙенең тигеҙләмәһен шәлкем тигеҙләмәһенә α=1, β=0 һәм α=0, β=1 ҡиммәттәрен ҡуйып табып була.

• Яҫылыҡтар бәйләме — өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән бөтө яҫылыҡтар^:224. Яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһе, йәғни өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә:

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_3)=0,$

бында $\alpha$, $\beta$ һәм $\gamma$ — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Нөктәнең үҙен яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһенә α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 һәм α=0, β=0, γ=1 ҡиммәттәрен ҡуйып һәм килеп сыҡҡан тигеҙләмәләр системаһын сығарып табып була.

$R^n$ арауығында m-яҫылыҡ

Ысын һандар яланында n-үлсәмле аффинно-сикле үлсәмле арауыҡ $K^n(V,P)$ бирелһен, ти. Унда тура мөйөшлө координаталар системаһы $O,\overrightarrow{e_1},...,\overrightarrow{e_n}$ алынған. m-яҫылыҡ тип радиус векторҙары түбәндәге нисбәтте ҡәнәғәтләндергән $\alpha$ нөктәләр күмәклеге атала: $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}\overrightarrow{t_m}+\overrightarrow{d}\}.$ $A_{nm}$ — матрица, бағаналары яҫылыҡтың йүнәлтеүсе аҫарауығын төҙөй, $\overrightarrow{t}$ — үҙгәреүсәндәр векторы, $\overrightarrow{d}$ — яҫылыҡ нөктәләренең береһенең радиус-векторы.
Килтерелгән нисбәтте матрица-векторлы күренештән векторлы күренешкә үҙгәртергә мөмкин:
$x=\overrightarrow{a_1}{t}_1+...+\overrightarrow{a_m}{t}_m+d,\overrightarrow{a_i}\in V$ — m-яҫылыҡтың векторлы тигеҙләмәһе.
$\overrightarrow{a_i}$ векторҙары йүнәлтеүсе аҫарауыҡ төҙөйҙәр. Ике m-яҫылыҡ $\alpha ,\beta$ параллель тип атала, әгәр уларҙың йүнәлтеүсе аҫарауыҡтары тап килһә һәм $\mathrm{\exists }x\in \alpha :x\notin \beta$.

(n-1)-яҫылыҡ n-үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ йәки ябай яҫылыҡ тип атала. Гиперяҫылыҡ өсөн яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе бар. $\overrightarrow{n}$ — яҫылыҡтың нормаль векторы булһын, ти. $\overrightarrow{r}=(x^1,...,x^n)$ — үҙгәреүсәндәр векторы, $\overrightarrow{r_0}$ — яҫылыҡта ятҡан нөктәнең радиус векторы, ул саҡта:
$(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0},\overrightarrow{n})=0$ — яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе.
Йүнәлтеүсе векторҙарҙың матрицаһы булғанда, яҫылыҡ тигеҙләмәһен ошолай яҙырға мөмкин: $\det (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0}|A_{n,n-1})=0$, йәки:
$\left|\begin{array}{ccccc}{x}^1-x_0^1& a_1^1& a_2^1& ...& a_{n-1}^1\\ x^2-x_0^2& a_1^2& a_2^1& ...& a_{n-1}^2\\ ...& ...& ...& ...\\ x^n-x_0^n& a_1^n& a_2^n& ...& a_{n-1}^n\end{array}\right|=0$.
Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш тип уларҙың нормаль векторҙары араһындағы иң бәләкәй мөйөш атала.

m-яҫылыҡтарға миҫалдар

1. Өс үлсәмле арауыҡта (n=3) 1-яҫылыҡтың миҫалы булып тура һыҙыҡ хеҙмәт итә. Уның векторлы тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә: $\alpha =\{a_x,a_y,a_z\}t+\{b_x,b_y,b_z\}$. n = 2 булған осраҡта тура һыҙыҡ гиперяҫылыҡ була.
2. Өс үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ ғәҙәти яҫылыҡ төшөнсәһе менән тап килә.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Тура һыҙыҡ
• Сагитталь яҫылыҡ
• Ярымяҫылыҡ
• Арауыҡ

Әҙәбиәт

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.

Һылтанмалар

• Логотип Рувики.Медиа Рувики.Медиала Яҫылыҡ темаһы буйынса медиафайлдар бар.